§. 1ü. Lehrsätze von den algebraischen Functionen. 283
stens ebensoviel positive Wurzeln, als es in/(w) Wechsel giebt, undhöchstens ebensoviel negative Wurzeln, als es in /(— «:) Wechsel giebt.Z. B. /l» ^ -i- 3-r — 5 hat 1 Wechsel, /(— «) hat keinen Wech-
sel, also kann die Gleichung /O) — 0 höchstens eine positive und keinenegative Wurzel haben.
Beweis. Die Gleichung/(-r) 0 habe die positiven Wurzeln
, . . , , so daß /O) — (-V — o-i) . . (a? — «^)<p(-r) ist und
die Gleichung §>(«-) — 0 keine positiven Wurzeln hat. Die Gleichung--0 hat 1 positive Wurzel, während es in O — «i)<x(a!)wenigstens 1 Wechsel giebt; die Gleichung (a- — «i)(« — « 2 )>p(«) 0
hat 2 positive Wurzeln, während es in (a? — — «z)y-(.-r) wenig-
stens 2 Wechsel giebt; u. s. w. Wenn nun K Wurzeln der Gleichung/l» — 0 positiv sind, so giebt es in /<» wenigstens k Wechsel, undumgekehrt.
III. Es gebe v Wechsel in /(n), »' Wechsel in /(— «), dann hatdie Gleichung nten Grades /(-v) ---- 0 höchstens r> -st rst reale Wurzeln.Wenn unter den Coefficienten von /(«) keiner 0 ist, so giebt es n — vNicht-Wechsel in /(«-), aus welchen die in /(— vorhandenen Wech-sel entspringen; daher ist « -st r,' — n.
Wenn 21- folgende Glieder in /(-v) fehlen, so enthält von den ander Lücke stehenden Gliedern das eine eine gerade Potenz von -r, dasandre eine ungerade Potenz, und eö entspringt aus ihren Zeichen ent-weder in /(äst oder in /(— «) ein Wechsel. Anstatt dieses einen Wech-sels erhält man in /(w) und in /(— -r) zusammen 2K -st 1 neue Wech-sel, wenn man die Lücke durch 2K Glieder mit willkürlichen Coefficien-ten ausfüllt. Demnach wird die Zahl r? -st r/ durch 2K zu -r ergänzt,und man hat v -st r/ --- n — 2K.
Wenn 2L -st 1 folgende Glieder in /(«-) fehlen, so enthalten diean der Lücke stehenden Glieder Potenzen von n, die beide gerade oderbeide ungerade sind, und es entspringt aus ihren Zeichen entweder so-wohl in /(«-) als auch in /(— «), oder in keiner von beiden ein Wech-sel. Dafür erhält man in /(n) und in /(— n) zusammen 2K -st 2neue Wechsel, wenn man die Lücke durch 2K -st 1 Glieder mit willkür-lichen Coefficienten ausfüllt. Also wird die Zahl v -st r>' durch 2Koder durch 2K -st 2 zu n ergänzt, je nachdem die an der Lücke stehen-den Glieder verschiedene oder gleiche Zeichen besitzen, und man hatr> -st r/ — K — 2L in dem ersten Falle, v-stv' — n — 2K — 2in dem andern Falle.
1L. Aus der Function 1^ — /i» und ihrem Differentialquotien-ten Ist n/'(n) kann man durch successive Divisionen die Kette von