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Algebra.
Gleichungen bilden
p' ---^ --
-
^2 ^2
^2
Um ganze Coefficienten zu erreichen, versieht man die Dividenden mithinreichenden positiven Multiplicatoren. Die Größen 1^ , Uz , . .sind den einzelnen Divisionsresten entgegengesetzt gleich, und die letzteU- ist entweder ein Divisor von Ur-, oder von m unabhängig. Wenndie Function Ur in Ur-, aufgeht, so ist sie der größte gemeinschaftlicheDivisor von U und Uz; wenn Ur von a- unabhängig ist, so giebt eskeine Function von a-, die in U und U, zugleich aufgeht. Die ReiheU, Uz , . . , Ur wird eine Sturm'sche Reihe genannt.
Sturm'scher Satz*). Wenn die Sturm'sche Reihe dadurch LWechsel verliert, daß n von a bis S steigt, so liegen L von einanderverschiedene einfache oder vielfache reale Wurzeln der Gleichung U —0zwischen den Grenzen a und S.
Beweis. Die Sturm'sche Reihe kann nur dadurch Wechsel ge-winnen oder verlieren, daß bei verändertem m einzelne Glieder im Ver-schwinden das Zeichen wechseln. Wenn bei einem bestimmten Werthvon -r das Anfangsglied U nicht verschwindet und ein Mittelglied Uzverschwindet, so ist Uj,i — — und von 0 verschieden, weil sonstzufolge der obigen Kette alle Glieder verschwinden müßten, gegen dieVoraussetzung. Die Functionen lU,, und behalten entgegengesetzteZeichen, während bei hinreichend kleinem u die Variable von L — n.bis n-s-n steigt, denn bei hinreichend kleinem « hat jede Functionmit <x(tv) einerlei Zeichen (8). Also bleibt die Anzahl der Wechsel inder Sturm'schen Reihe unverändert, während ein Mittelglied Ui dasZeichen wechselt.
Wenn dagegen bei ^ « das Anfangsglied U verschwindet und
1Z nicht verschwindet, so ist zufolge der Gleichung (11)
/(-v Z- «) — /(-»)
lira -
— / ( 2 -)
0
/(« -s- u) bei hinreichend kleinem « von einerlei Zeichen mit »/'(«);also hat man, während m von « — bis a -si « steigt,
entweder « — -2« -s- u
-j-
oder
« -j-
und die Sturm'sche Reihe verliert in beiden Fällen einen Wechsel.
') Von Sturm 1829 der Pariser Academie mitgetheilt,x. 419. Lbognet et Na^er LlAebrs 427 ff.
b'srussso Lullstin XI