s> 10. Lehrsätze von den algebraischen Functionen.

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Wenn endlich bei L — a mit dem Anfangsglied zugleich 1Zverschwindet, so ist v- eine Ifache Wurzel der Gleichung 1^ — 0 undalle Glieder der Sturmschen Reihe sind durch (rr — «Za theilbar (12).Es sei z. B. /(n.-) — (a- — o-)^A(a-), so hat man

/(n-s-re)—/O) (a7->-re—v-)^ — («—c-)^ > , , , „S^Z-r-) — A(-o)-»-^-^-^>«)-s-(^-°-Z ---

folglich bei verschwindendem re (11)

/'(-r) z(-r — -^-^(-e) -s- (a- — «)^/(^),

: (rr—«)r-t — (n—ce)Al(rv), ^ : (-0—«)^'t — z.A(a7)Z-(L—«)A-'(a?).

Diese beiden Glieder haben bei a? — « -j- u und hinreichend kleinemrr bezüglich mit uL-(-r) und mit zA(ce) einerlei Zeichen. Also verliert auchin diesem Falle, während n von « — r- bis « -j- rr steigt, die durch(n — v-)^i dividirte Stürmische Reihe sowie die ursprüngliche Sturm-sche Reihe einen Wechsel.

Wenn demnach b verschiedene reale Wurzeln der Gleichung 0zwischen den Grenzen a und ö liegen, so verliert die Sturm'sche ReiheL Wechsel, während -o von a bis S steigt, und umgekehrt.

13. I. Wenn As» — So -s- . . -s- ist und die

Gleichung F(n) ^ 0 die Wurzeln A , - - , hat, deren einedurch /Z bezeichnet wird, so ist die ndeutige algebraische Function

^ —/(H — -s- a^/1 -j- . . -s-

eine Wurzel einer bestimmten Gleichung rrten Grades, deren Coefficien-ten ganze Functionen der Coefficienten a und S sind *). Man bilde ausden Werthen «, r-ch . . , hjx ^ Identitäten

0 — — ee Z- —s- . .

0 . («o — ^ -i- . .

0 — » * («0 — r<)^^ ^ -s- . .

u. s. w., ferner aus §(/?), /?A(jb), . . , die m Identitäten

0 — -s- Sj/Z -j- . .

0 ^ . .

0 — * . ^ . .

u. s. w., und endlich zu diesen n m Zeilen die Determinante(n m)ten Grades (Allg. Arithm. Z. 26)

) Vergl. des Berf. Determinanten ß. II.