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einzelnen Maaßwerksverzierungen zu Grunde liegenden, Vielecke betrifft. Zu den schon oben hierüber gegebenenBeispielen führe ich hier nur noch den Regensburger Dom an, bei welchem das seiner Grundrißbildung imLanghause zu Grunde liegende Princip der Triangulatur auch äußerlich durch das herrliche, aus dem Triangelconstruirte Hauptportal, wie durch die, aus dem Triangel gebildeten, Maaßwerks-Verzierungen seiner Thurm-gallerieen ausgedrückt ist. Daß solche Zahlenverhältnisse im Aufrisse namentlich bei den Thürmen vorwalten,wurde gleichfalls schon oben S. 70 und 100 besprochen. Hier sind noch andere, nämlich die Proportional-Ver-hältnisse des Aufrisses zu erwähnen, auf welche Albrecht Dürer hingewiesen hat, welcher allerdings in der Lagewar, von den alten Meisterregeln der Kirchenbaukunst noch Kenntniß haben zu können. Er sagt unter anderm:„Es ist offenbar daß sich die geraden linien dreierley art gegen eynander abschneiden lassen, die ersten schneidet„man ab durch die maß, wie das forn angezepgt ist, aber die andern zweyerlei geschlecht werden durch die zal„abgeschnitten und gemacht, Die ersten vergleicht man durch eyn gerade zall gegen eynander, der gründ ist 2, die„andern durch eyn ungerade zal, der wurtzel ist 3." Hiezu giebt Dürer die im Vorlegeblatte xiv. 8. im unternrechten Ecke wiedergegebenen Höhen-Linien. Die durch eine gerade Zahl (deren Grund 2 ist) normirten Liniensind die mit den Zahlen 2, 4, 8,16 bezeichneten, und die durch eine ungerade Zahl (deren Wurzel 3 ist) normirtenLinien sind die mit den Zahlen 3, 9, 27, 81 bezeichneten. Am bemerkenswertheften ist aber, daß Dürer von diesenZahlen ausdrücklich sagt: „der mügen sich auch die Steymetzen gebrauchen in den außzügen. Auch mag man diese„linien lenger unter sich herab ziehen aufseyn zwerchlini, so halten sie sich aber änderst dann vor gegen eynander."Die erstgenannten Zahlen (deren Grund 2 ist) beruhen auf einem arithmetischen Verhältniß, indem sich ihrUnterschied durch Subtraktion ergiebt, während die letztgenannten Zahlen (deren Wurzel 3 ist) aus einem geome-trischen Verhältniß hervorgehen, indem ihr Unterschied darauf beruht, wie vielmal die eine Zahl in der andernenthalten ist. Es sind aber im Aufrisse, besonders bei den Thürmen, diese Zahlen-Verhältnisse, und insbesonderedie Proportional- und Progressional-Verhältnisse von Bedeutung. Die Proportion beruht auf der Gleichheitzweier Verhältnisse, welche wieder, wenn sich dieselbe durch Subtraktion ergiebt (7 weniger 4 ist gleich 11 weniger8) eine arithmetische, oder wenn sie darauf beruht, wie vielmal die eine Zahl in der andern enthalten ist (28verhält sich zu 7 wie 48 zu 12) eine geometrische genannt wird. Eine Progression ist vorhanden, wenn mehrals drei Zahlen in einerlei Verhältniß fortlaufen, welche dann wieder nach Verschiedenheit des Verhältnissesentweder arithmetisch oder geometrisch sein kann. Offenbar harmonirt mit der Regel der Quadratur am bestendie arithmetische Proportion und Progression, und mit der Regel der Triangulatur die geometrische Proportion

8 .19. und Progression. Die — Figur 19 zeigt, wie man zu zwei gegebenen geraden Linien, ub und bo, eine mittlereProportionallinie findet. Beschreibe aus dem Mittel der aneinanderstoßenden Linien ab und d e, also aus demmit d markirten Punkte, einen Halbkreis, und errichte auf dem Punkte b eine lothrechte Linie bis an diePeripherie des Halbkreises, so ist die Linie b 6 die mittlere Proportionallinie zwischen den Linien ab und bo. Die,

8. 20. dem genannten Dürer'schen Buche entlehnte, — Figur 20 enthält die kürzeste Manier, zu zwei gegebenen Linien abund 6d beliebig viele Proportionallinien aufzufinden. Dürer sagt: „Nachfolget so vill du linien zwischen den„zweyen auffrechten ab und ed proportionales finden wilt, so vill punckten setz auff die lini ab also das sie„auff ir gleich weite selber machen." Durch die Durchkreuzung an den aus diesen Punkten gezogenen Linien 1,2,3mit der von b nach 6 gezogenen Linie ergeben sich die Punkte, durch welche die Proportionallinien 6f, ^b,und od gefunden werden. Ferner habe ich in den Figuren 12 bis 18 die drei verschiedenen Arten Dürer'süber „die Vergleichung und Abschneidung der Linien durch den Winkel und durch den aus- oder eingebogenen„Quadranten" (wodurch sich mancherlei Behelfe finden) wiedergegeben. Dürer sagt: „Aber in summa, all aufrecht„linien die ordenlich in gleicher oder ungleicher weilten neben eynander, auf eyn zwerch lini gestellt werden, die„sind dreyerley weyß abzuschneyden, mit eyner holen und außgebogen zirckellini, oder mit eyner ortlini lang oder

8. 12. „kurtz, gibt ein ytlichs sein sonder art." Zn — Figur 12 sind die beiden Seiten ab und de des rechten Winkelsab 6 einander gleich, und die Seite bo ist in 5 gleiche Theile getheilt, wodurch die Linien 4, 3, 2 und 1

8. 13. gebildet werden, welche ihr Verhältniß durch die Linie a 6 erhalten. In — Figur 13 ist der rechte Winkel a b f sonormirt, daß sich die Seite af zur Seite ab wie 6 zu 8 verhält. Die Linien 3, 2, und 1 sind nämlich dadurchbestimmt, daß die Linie x e das Mittel der Linie af, die Linie 36 das Mittel der Linie 4 b, die Linie 2d dasMittel der Linie 3 b, und die Linie 16 das Mittel der Linie 2 b bildet. Die Figuren 14 bis 18 enthalten dieAbschneidung der Linien, wie Dürer sagt, durch ein „Zirckelkrumm", oder vielmehr durch den Quadranten, d. h.den vierten Theil des Kreises; und zwar in den Figuren 14 und 15 durch den ausgebogenen, und in den Figuren

6 .14. 16 bis 18 durch den eingebogenen Zirkel, oder wie Dürer sagt: „durch eyn hol zirckeltrum." In - Figur 14

8. is. sind die Linien 4, 3,2 und 1 durch die Theilung des Quadranten ab 6 in 5 gleiche Theile normirt. In - Figur 15